Бесик Папунашвили в 1980 году окончил Грузинский технический университет по специальности «Гражданское и промышленное строительство» и получил специальность инженера-строителя.

В 1981 – 1986 годах работал в Строительном тресте №1 Министерства сельского хозяйства производителем работ. С 1986 года по 1990 год был начальником Восьмого управления Строительного треста №4 «Агромрецвмшени» («Агропромстрой»). В 2001 – 2006 годах работал в ООО «Центр-Пойнт Груп» сначала сотрудником технадзора, а затем – менеджером строительных объектов.

С 2010 года работает в строительной компании «Анаги» на позиции производителя работ.