ბესიკ პაპუნაშვილმა 1980 წელს დაამთავრა საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამოქალაქო და სამრეწველო მშენებლობის ფაკულტეტი ინჟინერ-მშენებლის სპეციალობით.

1981-1986 წლებში იგი მუშაობდა საქართველის სოფლის მეურნეობის სამინისტროს №1 სამშენებლო ტრესტში სამუშაოთა მწარმოებლად; 1986 წლიდან 1990 წლამდე იყო აგრომრეწვმშენის №4 სამშენებლო ტრესტის მერვე სამმართველოს უფროსი; 2001-2006 წლებში მუშაობდა შპს „ცენტრ-პოინტ ჯგუფში“ ჯერ ტექნიკურ ზედამხედველად, ხოლო შემდეგ − სამშენებლო ობიექტების მენეჯერად.

2010 წელს მუშაობა დაიწყო სამშენებლო კომპანია „ანაგში“ სამუშაოთა მწარმოებლად. 2013 წელს ბ. პაპუნაშვილი დაინიშნა უფროსი სამუშაოთა მწარმოებლის თანამდებობაზე.